Окно с видом на Кесарию (Эрувин 76А-Б) или ошибка в Талмуде?

По научно-фантастической книге «Контакт» Карла Сагана доказательство того, что Мир сотворён, лежит в числе Пи, но поскольку автор — атеист, там вместо сотворения Мира – доказательство внеземного разума, который оставил свои следы в разложении этого числа. Предупреждаю, что в одноимённом смотрибельном фильме про Пи убрали.

Иллюстрация – машина для контакта с внеземным разумом, вся из эрбия.


Поэтому мы ещё раз обсудим обработку этого числа в текущем листе нашего трактата. На этот раз круглое – не участок, не бассейн и не помещение, а окно в перегородке, разделяющей два двора. Можно ли сделать общий эрув, благодаря окну?
Для любой формы окна это зависит от размера и высоты. Если окно квадратное, совместный эрув возможен, если окно не менее, чем 4*4 и хотя бы часть окна ниже 10 на уровнем земли. Здесь и далее имеются в виду единицы «тефахим», то есть ширина ладони.
А если окно криволинейное, ожидается, что оно может вместить в себя квадратное окно критического размера.
Предварительно напомним, что Талмуд везде полагает соотношение окружности к диаметру как 3. Исходно этот тезис появляется в Мишне Оhалот 12:6, там утверждается, что для перекрывания нечистоты должна быть крыша, может сгодиться балка шириной в одну ширину ладони. Если балка круглая, достаточно, чтобы сечение имело периметр 3, так как круг с периметром три, имеет ширину один.
Данное высказывание Мишны объясняется комментаторами как вывод из описания бассейна в Храме, что мы уже обсуждали в одной из предыдущих статей. Дополнительно заметим, что корень из двух принимается Талмудом за одну и две пятые (1.4)
Рабби Иоханан утверждает, что «חלון עגול צריך שיהא בהיקפו עשרים וארבעה טפחים ושנים ומשהו מהן בתוך י’ שאם»
Предварительный перевод будет: «Круглое окно должно иметь двадцать четыре в периметре, и, по крайней мере, два с небольшим должны быть ниже уровня десять, так чтобы после квадратуры часть вошла ниже десяти».
Гемара затрудняется понять это высказывание, ведь если взять периметр 12, ширина (диаметр) уже будет 4, что является достаточным.
— Да, но одной ширины мало, надо квадрат 4*4.
— Но и тогда достаточно взять периметр 16, как у квадрата 4*4.
— Да, но надо не только границу квадрата, но и сам квадрат вместить, а из-за того, что углы выпирают, надо больше.
— Да, но и тогда длина окружности будет как в три раза длиннее диагонали квадрата, у квадрата 4*4 диагональ имеет длину 4*1.4 = 5.6, а, значит, длина окружности будет всего 16.8 (Талмуд называет это число, как «семнадцать без одной пятой»), и опять не нужно 24!
— Дело в том, что рабби Йоханан придерживался метода судей из Кейсарии, которые считают, что круг, описанный вокруг квадрата больше его на треть себя, а квадрат, описанный вокруг круга, больше его на четверть себя. Поэтому рабби Йоханан требует 24, так как 24-16 = 8, что и есть треть от 24.

Конец пересказа Гемары. Некоторое смятение умов вызвала точка зрения судей из Кейсарии, усвоенная рабби Йохананом, ошибка слишком большая, её ни на какие приближения не спишешь. Заодно и сама группа «судьи из Кейсарии» звучит несколько загадочно.
Особенно усиливаются трудности, если привлечь параллельное место из трактата Сука 7Б-8Б, где размеры даны не в ладонях, а в локтях. Там спрашивается, как какого размера должен быть шалаш для праздника Кущей (Сукот), если он – круглый. И тот же рабби Йоханан, исходя из того, что минимальный размер квадратного шалаша должен быть 4*4 локтя, требует круглый шалаш такой, чтобы вдоль периметра могли сесть 24 человека, и предполагается, что один сидящий человек, это локоть на локоть. Гемара там проходит все те же возможности –достаточно 12, достаточно 16, достаточно 17-1/5. Затем дополнительно предполагается, что рЙ просто рассуждал приблизительно, но, резонно замечает Гемара, ошибка слишком велика для приближения. Ещё одна попытка, что три человека занимают 2 локтя, а не три, отвергается Гемарой. Так получается всего 16, а надо не менее 17-1/3. Нельзя также считать это приближенным вычислением, так как нельзя округлять в меньшую сторону, чем критический размер. (Заметим в скобках, так сделано в Мишне Оhалот, упомянутой выше, с числом Пи).
В качестве последнего решение Гемара опять вспоминает тех, из Кейсарии, причем в трактате Сука неизвестно, как правильно называть эту группу – «раввины Кейсарии» или «судьи из Кейсарии». В конце пассажа из Сука, Гемара констатирует: «И не так, так как мы видели, что там не столько», то есть, неизвестно, как объяснить!.
В итоге непонятно, кто и как ошибся. Или люди Кейсарии, или рабби Иоханан, или Гемара ошиблась в понимании мнения рабби Йоханана?
Были сделаны самые разнообразные попытки найти, что именно имели в виду. Некоторые говорили, что учтено, что Пи больше трех, что довольно неправдоподобно. Некоторые предлагали идею, что взято нарочно слишком много, чтобы людям было проще.
Другие строили другие окна, например, вот такое.

Окно в виде четырех лепестков на квадрате

Окно в виде четырех лепестков на квадрате

А некоторые рисуют так, тогда внутренний квадрат не вписан в круг, а в промежуточный квадрат, зато периметр 24:

Круг, описанный вокруг квадрата в квадрате

Круг, описанный вокруг квадрата в квадрате


Наконец, математик Боаз Цабан произвел обзор решений (иврит), одно из которых простое и убедительное.
Источники его кроются в респонсах рабби Ицхака Альфаси (1013 – 1103, РИФ) и математических книгах 11 века рава Авраама бар Хия (1065 — 1136), затем у Рашба, Менахема Меири. Приводится историческое свидетельство, что автор книги «Маор» много обсуждал этот вопрос с Иеудой бен Тиббон, и они нашли решение. Рашба в книге «Аводат Авода», видимо, первый дал объяснение самих слов рабби Йоханана. Риф изложил решение по-арабски, и оно потом было переведено, и появляется в книге Раавада. Тосфот, в отличие от Раши, жили после того, как Авраам Бар Хия привез геометрию во Францию, и тоже приводят решение (Эрувин 76Б «рабби Йоханан»). Но они не читали по-арабски, поэтому не приводят решение от имени Рифа, а без авторства. Интересно, что и штейнзальцевский Талмуд тоже приводит решение без авторства.
После всего, само решение выглядит разочаровывающе, но надо принимать во внимание, что для него требовалось достаточное для тех времен продвинутое знание математики.

Круг с вписанным и описанным квадратом, с указанием площадей

Круг с вписанным и описанным квадратом, с указанием площадей

Просто речь идет о площади! Черный квадрат 4*4 имеет площадь 16, его диагональ есть четыре корня из двух, значит, радиус описанной окружности два корня из двух, значит, площадь описанного круга – 24, полагая Пи за 3, а площадь квадрата, описанного вокруг круга – 32. И, действительно, 32 больше 24 на одну четверть, 24 – больше 16 на одну треть.
Вот, что имели в виду судьи из Кейсарии. Боаз Цабан полагает, что это скорее всего эвфемизм для римских инженеров, которые любили простые практические, пусть и не совсем точные решения, на самом деле, площади относятся как 2:Пи:4.
И второе высказывание рабби Йоханана, что круглое окно должно зайти на 2 под уровень 10 тоже легко понятно, если это — площадь.

Площадь сегмента между квадратом и описанным кругом

Площадь сегмента между квадратом и описанным кругом

Действительно, разница в площади между описанным кругом и вписанным квадратом 24-16 = 8. Каждый сегмент есть одна четверть от 8, то есть, 2. Значит, если 2 с небольшим под чертой, значит, часть центрального квадрата будет ниже черты, что и требовалось доказать.
Дополнительный любопытный элемент полемики вводит Виленский Гаон на нашей странице Эрувин (76Б). По-видимому, ему не нравится идея, что в Гемаре может быть ошибка. Про ошибку говорит Тосфот, начинающийся словами «И сказал рабби Йоханан», ближе к концу Тосфот говорит: «Гемара в Суке и рабби Йоханан здесь ошиблись (שהש»ס בסוכה ור’ יוחנן דהכא טעו בדבריהם) и думали, что речь идет о периметре, а если понять, что про площадь, получается хорошо» . Заметим в скобках, что Боаз Цабан предполагает, что не рабби Йоханан не ошибся, а более поздние авторы Гемары, которые не поняли, что когда он говорит «בהיקפו» имеется в виду не «в периметре», а «внутри периметра».
Гаон делает примечание, отрывающееся словами «не дай Бог подумать, что ошиблись Мудрецы Талмуда» и строит далее свою альтернативную теорию, используя не только пятые доли, но и четверть пятой доли, то есть 0.05. Поэтому у него четыре корня из двух не 5.6, а «пять и три пятых и четверть пятой» (5.65), а периметр внешнего квадрата уточняется до 22.6 вместо 22.4. Правда, непонятно, почему от длины окружности мы перешли к периметру квадрата, описанного вокруг окружности, так что объяснение Тосфот представляется предпочтительнее, хоть они и говорят, что в Гемаре ошибка.
Я думаю, здесь ещё есть над чем поработать историкам математики.
Последним упомянем РИФа в том виде, как печатается в стандартных изданиях Талмуда, там он не упоминает ни рабби Йоханана, ни специалистов из Кейсарии. А просто, круглое окно должно быть описано вокруг квадрата 4*4, значит периметр должен быть пи*4* (корень из двух), в принятом приближении 16.8, а его собственными словами «семнадцать без пятой части», и таков итоговый закон.
Автор благодарит Боаза Цабана и рава Яакова Беленького за обсуждения.
P.S. Оказывается в упомянутой книге Карла Сагана говорится: «В соответствии с Библией древние евреи считали «пи» в точности равным трем.»

Окно с видом на Кесарию (Эрувин 76А-Б) или ошибка в Талмуде?: 3 комментария

    • Михельсон пишет примерно то же, что и Цабан, я это обсуждал не в этой статье, а вот здесь: http://www.machanaim.org/wp_blog/neobychajnye-priklyucheniya-v-traktate-eruvin/
      Разница между Цабаном и Михельсоном, в том, что Михельсон верит в это с энтузиазмом,а Цабан — с некоторой долей скептицизма, в той статье я это обсуждал. Михельсон также большой поклонников кодов в Торе, так что я ему меньше доверяю, я его немного знаю лично. Впрочем, и Михельсон пишет: «(приписывают это Виленскому Гаону, но в его книгах этот факт не упоминается)» , а Цабан говорит просто, что это открыл Мунк.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *