| К оглавлению книги "Вера в эпоху науки" | Натан Авиезер |
В древние времена экономика Израиля в огромной мере зависела от дождя. Сходным образом обстоит дело и сегодня: если зимой выпадет мало осадков, не будет урожая, станет мало питьевой воды, и это грозит самыми серьезными последствиями в масштабе всей страны. Еврейская традиция придает дождю огромное значение. Поэтому в конце нашего жаркого, сухого лета, во время праздника Шмини Ацерет, мы молим Господа о благословенном дожде. Молитва о дожде -одна из самых проникновенных страниц в нашем молитвеннике. Вот несколько строк из нее:1
Боже, пойти нам дождь из небесного источника,
Пусть он смягчит землю своими хрустальными каплями.
Господь назвал воду знаком своего могущества.
Капли ее питают всех, в ком дух живой,
Всех, кто славит Господа - повелителя небесных потоков.
В годы засухи раввины предписывают верующим читать специальные молитвы и поститься, дабы Господь смилостивился над своим народом и ниспослал долгожданный дождь. Целый трактат Талмуда, Та'анит, посвящен описанию порядка специальных молитв и постов, предписываемых в засуху.
Смысл специальных молитв и поста во время засухи заключается в том, что человек не может знать заранее, когда пойдет наконец столь необходимый дождь, и поэтому должен взывать к милосердию Господню. Нам хорошо известно, что сегодня наука не умеет с уверенностью предсказывать погоду на следующую неделю. Попробуйте-ка запланировать загородную прогулку, доверившись прогнозу погоды, сделанному на прошлой неделе! В будущем, однако, эта ситуация наверняка изменится. Предсказание погоды станет настолько точным занятием, что метеоролог действительно сможет вырабатывать долгосрочные прогнозы. К чему тогда будут наши молитвы о ниспослании дождя?
Рассмотрим пример. Солнце для нас еще важнее, чем дождь. Если бы солнце не взошло утром и не светило днем, это была бы полная катастрофа. Погибли бы все растения, а вслед за ними очень скоро и животные. Тем не менее, мудрецы Талмуда никогда не предписывали обращаться к Господу с молитвой, прося Его сделать так, чтобы Солнце продолжало светить.
Отсутствие таких молитв объясняется тем, что сияние солнца есть астрономическое явление, происходящее согласно законам природы - нечто, на что можно рассчитывать с полной уверенностью. И нет никакой необходимости, более того, даже неуместно было бы просить Бога, чтобы Он принимал меры к соблюдению законов природы. Они действуют всегда, если только Бог не примет решение совершить чудо. Поэтому, если метеорология усовершенствуется до того, что прогноз погоды станет абсолютно надежным, то и молитва о ниспослании дождя станет ненужной и неуместной.
В свое время предсказание погоды заключалось в наблюдении формы облаков, измерении скорости ветра и температуры. Это давало прогноз на день вперед и не более того. Более долгосрочные прогнозы были тогда невозможны, потому что завтрашние облака сегодня еще не существуют, и предсказать, какую форму они примут завтра, никак нельзя.
Концептуальных препятствий к долгосрочному прогнозированию погоды нет. Метеорология - наука о предсказании погоды - занимается состоянием земной атмосферы.2 Состав атмосферы известен (кислород, азот, аргон, углекислый газ и, разумеется, водяные пары), и известно, что при определенных условиях эта смесь газов порождает дождь. Энергия, поступающая в атмосферу, тоже известна - это энергия, идущая от Солнца и с поверхности Земли. Источником атмосферной влаги является мировой океан. Более того, уравнения взаимодействия между различными ингредиентами атмосферы известны в метеорологии уже больше ста лет. Эти уравнения опираются на механику Ньютона, на законы газового состояния, в сочетании с гравитационными и термодинамическими условиями.
Дождь зависит от семи параметров (температура, давление воздуха, влажность, облачность, и три компоненты вектора скорости ветра), отражающих состояние атмосферы. Для того, чтобы точно предсказать, когда и где пойдет дождь, необходимо только вычислить значения этих семи величин на данное время и в данном месте, опираясь на уравнения состояния атмосферы. Все это выглядит довольно просто. Но если об атмосфере нам все известно, то почему так трудно составить долгосрочный прогноз дождя и засухи?
На практике, огромная трудность заключается в том, что погода не есть локальное явление. Погода в каждом данном месте испытывает влияние атмосферных условий, охватывающих необычайно большие пространства, иной раз в тысячи километров. Так например, погода, которая установится через два дня в Чикаго, зависит от состояния атмосферы (от семи параметров этого состояния) на половине территории Соединенных Штатов! Поэтому для того, чтобы предсказать послезавтрашнюю погоду в Чикаго, необходимо вычислить каждый из этих параметров в тысячах разных мест.
Ясно, что произвести эти вычисления вручную невозможно. Поэтому в прежние времена долгосрочного прогноза погоды и не было, а дождь можно было предсказать только с сегодня на завтра. Сегодняшнюю облачность можно было оценить уже вчера, поэтому вычислять ее не было необходимости.
Начиная с 50-х годов прошлого века всё это в корне изменилось. На экране телевизора мы каждый день видим метеорологическую карту с подробным прогнозом погоды на несколько дней вперед. Причина этого радикального улучшения выражается в трех словах: электронно-вычислительная машина. Для современного компьютера проделать операцию с миллионами чисел - пустяковая задача.
Трудности предсказания погоды можно проиллюстрировать на числовом примере. Он дает несколько упрощенное представление о сложнейшей науке метеорологии,3 но хорошо передает суть дела.
Рассмотрим предсказание погоды в Чикаго. Как мы уже говорили, для того, чтобы это сделать, нужно решить уравнения состояния атмосферы, наблюдаемого на половине территории Соединенных Штатов. На практике применяется приближение, опирающееся на двенадцатирядную сеть контрольных точек с интервалами в сто километров и глубиной в 10-12 слоев. Это дает более семи тысяч точек, и для каждой из них необходимо вычислить значения семи атмосферных параметров. Всего, таким образом, более 50 000 вычислений.
Прогнозирование состоит в том, чтобы, исходя из нынешних данных, определить будущие. Нынешние данные выражаются у нас пятьюдесятью тысячами чисел, полученных на тысячах контрольных пунктов. Эти данные (50 000 параметров) подставляются в соответствующие уравнения, которые и решаются на компьютере, давая параметры состояния атмосферы (50 000 новых параметров) на некий момент в будущем.
Как далеко вперед можно точно предсказать погоду с помощью этих компьютерных расчетов? Ответ звучит довольно обескураживающе - всего на 10 минут!4 Экстраполяция погоды на более долгий период времени не дает точных результатов. Поэтому для того, чтобы узнать, что же произойдет с погодой через 20 минут, придется повторить всю эту процедуру, взяв за исходные данные те, что были получены на предыдущем этапе.
Для того, чтобы выработать прогноз на послезавтрашний день (период прогнозирования - 48 часов, то есть 2880 минут), нужно повторить эту процедуру 288 раз, то есть вычислить более 10 миллионов чисел. Компьютер производит свои вычисления с помощью так называемых операций с плавающей запятой (floating point operations per second, FLOPS). Расчет од-ного-единственного параметра состояния атмосферы требует около 500 арифметических операций такого рода. Таким образом, для расчета погоды на послезавтра понадобится около 5 миллиардов таких операций.
Теперь мы видим, какой огромный объем вычислений необходим, чтобы узнать, когда пойдет дождь. Для сокращения вычислений было придумано множество разных приемов, обходных путей и различных климатических моделей, но, что ни выдумывай, чтобы выработать прогноз погоды на будущее, компьютер по-прежнему должен произвести свои миллиарды FLOPS.
Это заставляет нас спросить, а годится ли вообще компьютер для этого дела? Другими словами, способен ли нынешний компьютер с нужной скоростью производить все эти миллиарды операций, необходимые для долгосрочного прогноза погоды?
Прежде чем ответить на этот вопрос, упомянем, что, кроме высокой скорости, мощный компьютер должен обладать также огромной памятью, где сохраняются результаты всех промежуточных шагов в процессе вычислений. Мы, однако, не будем заниматься этой стороной компьютерной работы, а сосредоточимся на скорости работы ЭВМ. Эта скорость по традиции измеряется количеством операций с плавающей точкой в секунду, сокращенно FLOPS. О скорости компьютера так и говорится - столько-то FLOPS.
Прогресс в области компьютерных скоростей с полным правом можно назвать феноменальным.5 В 1965 году самые быстрые ЭВМ обладали скоростью в миллион FLOPS. В 1980 году был построен суперкомпьютер, а к концу 80-х годов прошлого века быстродействие ЭВМ достигло уже миллиардов FLOPS.6
Прошлый опыт обещает "примерно десятикратное увеличение скорости каждые пять лет".7 А компьютеры будущего? В 21 веке уже планируются и строятся машины следующего по-коления, со скоростью в триллионы FLOPS.8
Благодаря огромному прогрессу в области компьютерных скоростей, вычислительные машины способны теперь совершать те миллиарды вычислений, которые необходимы для прогноза погоды. Каждая телевизионная программа сегодня кончается вполне надежным прогнозом погоды на ближайшие пять дней. По мере увеличения быстродействия машины увеличиваются и предсказательные возможности ее хозяина - метеоролога. Самые быстрые сегодняшние компьютеры используют весьма тонкие модели прогноза погоды, основанные на приемах численного анализа.9 Таким образом можно уверенно прогнозировать, когда и где пойдет дождь, почти на неделю вперед.10 Вооруженные силы, планируя свои операции, используют такого рода прогнозирование в рабочем порядке.
По мере того, как возрастает скорость вычислительных машин, мы можем рассчитывать на все более долгосрочные прогнозы погоды. Придет день, когда станут возможны двухнедельные прогнозы, затем месячные, и в конце концов появится возможность предсказывать дождь и вёдро на весь сезон. Для этого, возможно, понадобится двадцать, а то и пятьдесят лет, но раньше или позже метеорологи снабдят нас таблицами, в которых четко будут указаны все дождливые и все ясные дни наступающего сезона.
Например, долгосрочный прогноз для Иерусалима сообщит нам, что зима предстоит довольно сырая: девять дождливых дней в октябре, четырнадцать в ноябре, восемь в декабре, восемнадцать в январе, одиннадцать в феврале, и шесть дождливых дней в марте. Таблица отметит также все дни, когда пойдет дождь, с той же точностью, с какой сегодня календарь сообщает нам время восхода солнца на каждое число в данном месте.
Когда появятся такие таблицы долгосрочных прогнозов погоды, работники сельского хозяйства вздохнут с облегчением, да и планирование загородных прогулок сильно упростится. Но как быть с молитвами о ниспослании дождя?
Представим себе такую картину. Кантор в синагоге читает молитву о ниспослании дождя на грядущий сезон. Тем временем верующие, взглянув на таблицу долгосрочного прогноза погоды, убеждаются, что, по расчетам метеорологов, дождь непременно будет. Молиться о ниспослании дождя, зная, что дождь наверняка пойдет, было бы все равно, что просить Бога заставить солнце светить на небе. Календарь уже сказал нам, в котором часу солнце взойдет завтра утром. Нет нужды молиться о том, что само собой следует из законов природы.
Рассмотрим другой, обратный пример. Предположим, что долгосрочный прогноз предсказывает, увы, засуху на ближайший год. Будем ли мы молиться о ниспослании дождя, точно зная, что метеорология предсказывает противное? Нет, не будем. Поскольку известно, что дождя не будет, выпадение дождя было бы чудом, а молиться о явном чуде для удовлетворения конкретной потребности запрещено.11
Значит, когда долгосрочное прогнозирование погоды станет реальностью, молитвы о ниспослании дождя прекратятся?
Божественное вмешательство в дела человеческие - это, конечно, всегда чудо. Мир, однако, настолько сложен, что божественное вмешательство, как правило, не распознается как таковое, и чудеса Божьи являются тем самым чудесами тайными. Талмуд объясняет, что Божий промысел творится "невидимо взору человеческому".12 Поэтому мы обязаны просить благословения Божьего, чтобы напомнить себе, что Он правит миром, хотя Его правление для нас незримо. И наоборот, Талмуд безусловно запрещает молиться Богу о чуде явном.13
Вернемся к нашему сравнению - дождь и восход солнца. Как и восход, дождь есть явление, продиктованное законами природы. Теологически, однако, тут имеется фундаментальная разница. А именно, время восхода солнца можно предсказать точно, и всякое изменение этого времени потребовало бы явного чуда, молиться о котором запрещается. С другой стороны, дождь пока еще точно предсказать нельзя, и поэтому выпадение осадков есть чудо тайное, о ниспослании которого молиться можно. Если, однако, дождь станет когда-нибудь точно предсказуемым явлением, то погода перейдет из категории тайных чудес в категорию чудес явных. И тогда молитвы о ниспослании дождя отпадут, как запрещенные.
Как мы видели, надежный долгосрочный прогноз погоды может сделать наши молитвы о ниспослании дождя излишними. Это, однако, не должно никого беспокоить. Новые времена - новые молитвы.
Долгосрочный прогноз влечет за собой и другие последствия. Специальные посты и молитвы, предписываемые талмудическим трактатом Та'анит, относятся, главным образом, к засушливым временам. Если, однако, длительность засухи заранее точно известна и молиться о дожде поэтому запрещено, то этот трактат устаревает. Но и это тоже не проблема. В Талмуде много других трактатов, требующих пристального внимания вдумчивого читателя.
Однако, читая Библию, мы видим, что долгосрочный прогноз погоды все-таки представляет собой известную проблему. Во Второзаконии (11:10-12) сказано, что одним из преимуществ Израиля перед Египтом является то, что Египет обильно снабжается водой от ежегодного разлива реки Нил, в то время как Израиль зависит от дождей, в которых никогда нельзя быть уверенным. Библия объясняет далее, почему эта неуверенность является преимуществом: она каждый день напоминает сынам Израиля, что жизнь их зависит от промысла Божия. Никогда не будучи уверен, пойдет ли столь необходимый дождь, человек глубже осознает ту центральную роль, которую Бог играет в делах человеческих.
Если же дождь можно предсказывать научно, то разница между Израилем и Египтом исчезает. И в той, и в другой стране ученые смогут с полной определенностью предвидеть состояние водных ресурсов. Таким образом, долгосрочное прогнозирование входит вроде бы в противоречие с недвусмысленным библейским указанием. Но ведь не скажем же мы, что Библия, книга, происхождение которой божественно, устарела! Вот это действительно было бы проблемой.
Эти трудности, однако, только кажущиеся. Недавние исследования прогнозирования погоды показывают, что долгосрочный прогноз осадков в принципе невозможен. И это вовсе не пессимистическая точка зрения тех или иных ученых. Математически доказуемо, что прогноз выпадения осадков возможен самое большее на неделю вперед и в принципе невозможен на более отдаленное будущее. Доказательство это не зависит от скорости компьютерных вычислений - даже если она достигнет когда-нибудь триллионов триллионов FLOPS.
Точно предсказать дождь невозможно по причине, называемой одним единственным словом - хаос (которое будет уточнено в дальнейшем изложении). Хаос - это совершенно новая область научных исследований,14 которую многие считают одним из самых замечательных открытий двадцатого века. "Хаос - это настоящая революция, повлиявшая на самые разные области науки".15
Понятие хаоса не следует рассматривать как полную неразбериху. Как раз наоборот. У хаоса свои законы, из которых вытекают вполне определенные следствия. "В хаосе есть свой порядок: рандомальность, имеющая вполне определенную общую форму".16
Хаос в принципе ограничивает возможности долгосрочного предсказания погоды. Давид Рюелль, профессор Института фундаментальных исследований под Парижем, пишет:
Когда было показано, что в системе может иметь место хаос, это явилось весьма важным открытием. Хаос объясняет ранее необъяснимые отклонения и ограничивает предсказуемость будущего.17
Хаос имеет место в сложных системах, движение которых описывается техническим термином "нелинейная динамика". Хотя теория хаоса очень сложна, но главная идея вполне поддается наглядному объяснению. Хаотические системы чрезвычайно чувствительны к малейшему изменению условий.
Чтобы пояснить серьезные последствия такой ситуации, сравним поведение традиционной (нехаотической) системы с радикально отличным поведением системы хаотической.
Бросим камень - и он упадет куда-нибудь. Бросим другой, целясь на этот раз немного в сторону - и он упадет немного в сторону. Малые изменения в направлении броска ведут к малым же изменениям в расположении точки приземления нашего камня. Таково характерное свойство традиционной, нехаотической системы.
Рассмотрим теперь хаотическую систему. Надуем воздушный шар и отпустим его. По мере того, как из него выходит воздух, шар беспорядочно вертится и скачет таким образом, что предсказать траекторию его движения никак нельзя. Мы можем повторять этот опыт снова и снова, и каждый раз шар будет скакать и вертеться по-другому, как бы тщательно мы ни воспроизводили исходные условия нашего эксперимента. Причина заключается в крайней чувствительности движений шара к этим исходным условиям.
Невозможно наполнить шар точно таким же количеством воздуха, что и в прошлый раз, невозможно расположить его точно так же, как и в прошлый раз. Между двумя такими опытами всегда будет некая, пусть самая малая, разница, и этой ничтожной разницы достаточно, чтобы вторая траектория в опыте с шаром резко отличалась от первой. Такая почти невероятная чувствительность к начальным условиям есть отличительная черта хаотической системы.
Чрезвычайная чувствительность хаотической системы к изменению условий получила у метеорологов очень выразительное название. Они говорят об "эффекте бабочки",18 наблюдаемом при прогнозировании погоды. Этот термин наглядно отражает крайнюю чувствительность погоды к мельчайшим изменениям атмосферных условий в любой точке мира. То есть, если бабочка взмахнет крылышками в Токио, это ничтожное событие окажет со временем сильнейшее влияние на погоду в Тель-Авиве, на другом конце земли.
Совершенно очевидно, что нет никакой возможности включить в базу данных, на которую опирается прогноз погоды, трепетание крылышек всех бабочек на свете (и все прочие события такого рода, влияющие на состояние атмосферы). Невозможно поэтому предсказать погоду на долгий срок вообще, и дождь - в частности.
Заметим, что эффект бабочки не означает, что произойдут какие-то радикальные изменения метеорологической картины. Наша бабочка, порхающая в Токио, не вызовет дождя в Тель-Авиве в августе месяце, ибо летом в Тель-Авиве дождей никогда не бывает. Но вот 15-го января погода в Тель-Авиве может быть или теплая и солнечная, или холодная и дождливая. И в том, которая их этих двух возможностей осуществится, японские бабочки действительно играют некоторую роль.
Следует подчеркнуть, что "эффект бабочки" это не просто образное выражение. Утверждение о том, что полет одной-единственной бабочки может изменить погоду на всем земном шаре, надо понимать буквально. Из этого видно, насколько чувствительна погода к самым мельчайшим явлениям в состоянии атмосферы.
Ознакомившись с эффектом бабочки, мы приходим к выводу, что увеличение скорости компьютерных расчетов не решит задачу долгосрочного предсказания погоды. Самый мощный в мире компьютер не в состоянии будет вместить в себя все факторы, влияющие на состояние земной атмосферы, включая все до единого мельчайшие движения всех живых существ на нашей планете. И становится ясно, что предсказать дождь надолго вперед не удастся даже с помощью компьютера, производящего триллионы триллионов FLOPS.
Хаотические системы отличаются одним очень важным свойством, существенным для нашего разговора. Если вышеописанный эксперимент с воздушным шаром повторить в точно тех же условиях, то поведение второго шара, действительно, будет почти одинаковым с поведением первого - но только в самом начале и очень недолго. Примерно через секунду второй шар уже начнет двигаться по несколько иной траектории, и очень скоро его траектория станет совсем не похожа на первую.
Этот опыт говорит нам следующее. Крайняя чувствительность хаотической системы начинает проявляться только по истечении некоторого характеристического времени - в опыте с шаром, примерно одной секунды. Поэтому можно предсказать движение нашего шара в первую секунду, то есть до окончания характеристического временного интервала. После этого, однако, движение шара становится непредсказуемым. Константа характеристического времени есть важнейшее свойство хаотической системы.
Движение планет солнечной системы хорошо изучено. Каждая планета движется вокруг Солнца по эллиптической орбите, постоянно описывая один и тот же эллипс. Время полного кругооборота Земли вокруг Солнца мы называем годом, который состоит из примерно 365 дней.
Эта картина, однако, не вполне точна. Она основана на предположении, что каждая планета испытывает силу притяжения одного лишь Солнца. На самом деле солнечная система это сложнейший комплекс взаимодействующих небесных тел, включающий в себя Солнце, планеты, их спутники, астероиды и миллиарды комет. Все эти массы взаимодействуют друг с другом чрезвычайно сложным образом .
Поскольку солнечная система так сложна, следует принимать во внимание возможность ее хаотического поведения. Если солнечная система не есть система хаотическая, к ней приложим стандартный метод оценки, то есть производится анализ эллиптического движения каждой планеты по отдельности, а затем к полученной картине просто добавляется незначительное влияние других компонентов солнечной системы. На этой основе можно предсказать далеко вперед многие явления, такие, например, как солнечные и другие затмения.
Недавно было обнаружено, что наша солнечная система является на самом деле хаотической.19 Вообще, хаотические системы в природе встречаются гораздо чаще, чем предполагалось ранее. Но дело в том, что характеристическая константа солнечной системы составляет примерно 10 миллионов лет. Поэтому, несмотря на хаотичность системы, можно точно предсказывать движение планет, затмения, фазы Луны. Пока предсказываемое явление отстоит в пределах 10 миллионов лет от момента предсказания, хаос можно не принимать во внимание. За пределы характеристического интервала, однако, вывести такого рода предсказание невозможно. Как пишет профессор Жак Ласкар, сотрудник парижского Геодезического бюро: "Предсказуемость орбит планет солнечной системы, в том числе и Земли, через несколько десятков миллионов лет теряется.20
Рассмотрим вопрос о том, что означает хаос в плане долгосрочного прогнозирования погоды. Известно, что атмосфера есть весьма сложная система и что уравнения состояния атмосферы отвечают условиям, характерным для системы хаотической. Следовательно, у нее имеется характеристическое время, которое ставит предел точному предсказанию погоды на долгое время. На короткий срок предсказать погоду можно, а на более долгий - нельзя.
Ключевым вопросом здесь, очевидно, является значение характеристической константы. Вспомним, что оно может составлять всего одну секунду, как в опыте с воздушным шаром, а может достигать и 10 миллионов лет, как в солнечной системе. Каково же характеристическое время прогноза погоды?
Ученые обнаружили, что характеристическая константа атмосферы как хаотической системы составляет одну неделю.21 Поэтому правильно предсказать погоду можно только на неделю вперед. Разумеется, такой прогноз требует мощных суперкомпьютеров и изощренных моделей погоды, построенных по методу численного анализа. Однако на неделю вперед погоду предсказать вполне возможно.
Более же долгосрочные предсказания погоды невозможны в принципе, в связи с хаотическим поведением земной атмосферы. Чувствительность атмосферы к малейшим изменениям условий в любой точке земного шара исключает долгосрочный прогноз погоды полностью и навсегда.
Во Второзаконии (11:10-12) сказано, что дождь в Израиле навсегда останется событием непредсказуемым, и поэтому очи израильтян всегда будут обращаться к Богу, высшему даятелю дождя. В свое время люди думали, что, с ростом скоростей суперкомпьютеров, наступит и такое время, когда метеорологи смогут заранее предсказывать осадки на весь сезон. Такое предсказание противоречило бы тексту Библии, ссылка на который приведена выше.
Современные научные данные говорят о хаотической природе земной атмосферы. Она исключает всякую возможность предсказывать погоду больше чем примерно на неделю вперед, что и согласуется со словами Второзакония. Таким образом, прогнозирование дождя - это еще один пример того, как современная наука находит объяснение библейскому тексту.
ПРИМЕЧАНИЯ
1Английский перевод Филиппа Бирнбаума, 1977, Daily Prayer Book (Hebrew Publishing: New York), стр. 698.
2R. A. Houze, Jr., 1993, Cloud Dynamics (Academic Press: New York), стр. 26-30.
3J. P. Peixoto and A. H. Oort, 1992, Physics of Climate (American Institute of Physics: New York).
4A. P. Ingersoll, сентябрь 1983, Scientific American, стр. 119.
5R. W. Hockney and С R. Jesshope, 1988, Parallel Computers 2 (Adam Hilgor: Bristol), стр. 2-53.
6E. Corcoran, January 1991, Scientific American, стр. 74-83.
7Hockney and Jesshope, стр. 3.
8Т. Fukushige, P. Hiet and J. Makino, март-апрель 1999, Computing in Science and Engineering, стр. 12-16.
9К. Е. Trenberth, 1992, Climate System Modeling (Cambridge University Press).
10D. G. Andrews, 2000, Introduction to Atmospheric Physics (Cambridge University Press), стр. 207-209.
11Полную библиографию талмудических источников по этому вопросу см. в Rabbis M. Berlin and S. Y. Zevin (составители), 1973, Talmudic Encyclopedia, том 1, стр. 679-680.
12Talmud, Baba Metzi 'a 42b.
13Talmud, Berachot 54a.
14J. Gleick, 1988, Chaos: A New Science (Cardinal: London).
15J. P. Crutchfield, декабрь 1986, Scientific American, стр. 38.
16Crutchfield, стр. 38.
17D. Ruelle, July 1994, Physics Today, стр. 26.
18Gleick, стр. 20-22.
19J. Laskar, 1989, Nature, стр. 237-238.
20Laskar, стр. 238.
21Ruelle, стр. 28.